三相3線式の交流電源の1線を接地した場合の電圧

三相3線式の交流電源について考えてみる。

三相交流とは、3種類の位相の単相交流電源を組み合わせたもので、どの2つをとっても位相差の大きさが $\displaystyle 120\mbox{°} = \frac{2}{3}\pi$ となるというものらしい。

試しに、3つの相R, S, Tの時間 $t$ における電圧 $V_R(t), V_S(t), V_T(t)$ を次のようにしてみる。ここで、 $V_0$ は最大電圧、 $\omega = 2 \pi f$ は角周波数( $f$ は電源の周波数)を示す。
$\displaystyle \begin{align} V_R(t) &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) \\ V_S(t) &= V_0 \sin \omega t \\ V_T(t) &= V_0 \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) \end{align}$
グラフにかくと次のようになる。
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さて、三相3線式ではこのうち一線を接地する。ここでは、Sの線を接地してみることにする。
電圧は接地したところを基準に測られるので、接地後のSの電圧は $V_S'(t) = 0$ である。
同様に、接地後の各電圧は、
$\displaystyle \begin{align} V_R'(t) &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t\\ V_S'(t) &= 0 \\ V_T'(t) &= V_0 \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t \end{align}$
として測定されるはずである。

ここで、加法定理から
$\displaystyle \begin{align} \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) &= \sin\omega t \cos\frac{2}{3}\pi - \cos\omega t \sin\frac{2}{3}\pi \\ &= -\frac{1}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \\ \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) &= \sin\omega t \cos\frac{2}{3}\pi + \cos\omega t \sin\frac{2}{3}\pi \\ &= -\frac{1}{2}\sin\omega t +\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \end{align}$
であるから、よって
$\displaystyle \begin{align} V_R'(t) &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t\\ &= V_0 \left( -\frac{1}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t - \sin \omega t \right) \\ &= V_0 \left( -\frac{3}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \right) \end{align}$
となる。
三角関数の合成より
$\displaystyle \begin{align} -\frac{3}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t = \sqrt{3}\sin\left(\omega t - \frac{5}{6}\pi\right) \end{align}$
したがって、
$\displaystyle \begin{align} V_R'(t) = \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t - \frac{5}{6}\pi\right) \end{align}$
である。
同様に、
$\displaystyle \begin{align} V_T'(t) = \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t + \frac{5}{6}\pi\right) \end{align}$
も計算できる。

まとめると、
$\displaystyle \begin{align} V_R'(t) &= \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t - \frac{5}{6}\pi\right) \\ V_S'(t) &= 0 \\ V_T'(t) &= \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t + \frac{5}{6}\pi\right) \end{align}$
で、これらは対地電圧になっている。

グラフにすると次のような感じになる。
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また、 $V_R'(t) - V_T'(t)$ についても計算してみると、
$\displaystyle \begin{align} &V_R'(t) - V_T'(t) \\ &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t - \left\{V_0 \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t \right\} \\ &= V_0 \left\{ \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) \right\} \\ &= V_0 \left\{ -\frac{1}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t - \left(-\frac{1}{2}\sin\omega t +\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \right) \right\} \\ &= -\sqrt{3}V_0\cos\omega t \\ &= \sqrt{3}V_0\sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \end{align}$
となり、振幅は $V_R'(t)$ や $V_T'(t)$ と等しい $\sqrt{3}V_0$ となっている。

ってなわけで、有効電圧は最大電圧の $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、三相3線式でどの2線をとっても線間電圧が $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}V_0$ になるようである。

これらのことから、電源電圧が200Vの場合は、
$\displaystyle \begin{align} \sqrt{\frac{3}{2}}V_0 = 200 \mbox{ [V]} \\ \therefore V_0 = 200 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 163 \mbox{ [V]} \end{align}$
となることがわかる。