にせねこメモ

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三相3線式の交流電源の1線を接地した場合の電圧

三相3線式の交流電源について考えてみる。

三相交流とは、3種類の位相の単相交流電源を組み合わせたもので、どの2つをとっても位相差の大きさが \displaystyle 120\mbox{°} = \frac{2}{3}\piとなるというものらしい。

試しに、3つの相R, S, Tの時間 tにおける電圧 V_R(t), V_S(t), V_T(t)を次のようにしてみる。ここで、 V_0は最大電圧、 \omega = 2 \pi fは角周波数( fは電源の周波数)を示す。
 \displaystyle \begin{align}
V_R(t) &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) \\
V_S(t) &= V_0 \sin \omega t \\
V_T(t) &= V_0 \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right)
\end{align}
グラフにかくと次のようになる。
f:id:nixeneko:20170601042038p:plain


さて、三相3線式ではこのうち一線を接地する。ここでは、Sの線を接地してみることにする。
電圧は接地したところを基準に測られるので、接地後のSの電圧は V_S'(t) = 0である。
同様に、接地後の各電圧は、
 \displaystyle \begin{align}
V_R'(t) &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t\\
V_S'(t) &= 0 \\
V_T'(t) &= V_0 \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t
\end{align}
として測定されるはずである。


ここで、加法定理から
 \displaystyle \begin{align}
\sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) &= \sin\omega t \cos\frac{2}{3}\pi - \cos\omega t \sin\frac{2}{3}\pi \\
&= -\frac{1}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \\
\sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) &= \sin\omega t \cos\frac{2}{3}\pi + \cos\omega t \sin\frac{2}{3}\pi \\
&= -\frac{1}{2}\sin\omega t +\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t 
\end{align}
であるから、よって
 \displaystyle \begin{align}
V_R'(t) &= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t\\
&= V_0 \left( -\frac{1}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t - \sin \omega t \right) \\
&= V_0 \left( -\frac{3}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \right)
\end{align}
となる。
三角関数の合成より
 \displaystyle \begin{align}
 -\frac{3}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t = \sqrt{3}\sin\left(\omega t - \frac{5}{6}\pi\right)
\end{align}
したがって、
 \displaystyle \begin{align}
V_R'(t) = \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t + \frac{5}{6}\pi\right)
\end{align}
である。
同様に、
 \displaystyle \begin{align}
V_T'(t) = \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t - \frac{5}{6}\pi\right)
\end{align}
も計算できる。

まとめると、
 \displaystyle \begin{align}
V_R'(t) &= \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t + \frac{5}{6}\pi\right) \\
V_S'(t) &= 0 \\
V_T'(t) &= \sqrt{3} V_0 \sin\left(\omega t - \frac{5}{6}\pi\right)
\end{align}
で、これらは対地電圧になっている。

グラフにすると次のような感じになる。
f:id:nixeneko:20170601042205p:plain

また、 V_R'(t) - V_T'(t)についても計算してみると、
 \displaystyle \begin{align}
&V_R'(t) - V_T'(t) \\
&= V_0 \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t - \left\{V_0 \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) - V_0 \sin \omega t \right\} \\
&= V_0 \left\{ \sin \left(\omega t - \frac{2}{3}\pi\right) - \sin \left(\omega t + \frac{2}{3}\pi\right) \right\} \\
&= V_0 \left\{ -\frac{1}{2}\sin\omega t -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t - \left(-\frac{1}{2}\sin\omega t +\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\omega t \right) \right\} \\
&= -\sqrt{3}V_0\cos\omega t \\
&= \sqrt{3}V_0\sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)
\end{align}
となり、振幅は V_R'(t) V_T'(t)と等しい \sqrt{3}V_0となっている。

ってなわけで、有効電圧は最大電圧の \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}なので、三相3線式でどの2線をとっても線間電圧が \displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}V_0になるようである。


これらのことから、電源電圧が200Vの場合は、
 \displaystyle \begin{align}
\sqrt{\frac{3}{2}}V_0 = 200 \mbox{ [V]} \\
\therefore V_0 = 200 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 163 \mbox{ [V]}
\end{align}
となることがわかる。